Арифметическая прогрессия

«Ничего не сделано, если что-то осталось недоделанным»
Карл Гаусс

В 9 лет Карл Гаусс за минуту решил задачу "Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 40".» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

1, 2, 3,……., 20

40, 39, 38…, 21
_______________
41, 41, 41,..., 41

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820.

Решил эту задачу Карл Гаусс по формуле суммы n- первых членов арифметической прогрессии.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Слово «прогрессия» (лат. progressio) буквально означает «движение вперед» (как слово «прогресс»).

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Определение: Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему одного и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа d (шаг либо разность прогрессии):

Выделяют следующие виды алгебраических прогрессий:

1. Возрастающая – прогрессия, в которой каждое последующее значение членов больше предыдущего, т.е d положительное (d>0) Например: 3, 5, 7, 9, 11 ..., здесь видно, что число 5 больше числа 3 на 2, 7 больше 5 тоже на 2, и так далее. Таким образом, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.)

2. Стационарная – последовательность, состоящая из одного и того же повторяющего числа, т.е. когда d = 0. Например, 3,3,3,3,3,….

3. Убывающая – прогрессия, в которой каждое последующее значение членов меньше предыдущего, т.е. d отрицательное (d<0). Например, убывающей является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ...

Свойства арифметической прогрессии:

1. Любой член арифметической прогрессии с номером n можно найти с помощью формулы:

, где а1 — 1-й член прогрессии, d — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность

- это арифметическая прогрессия для элементов которой выполняется условие:

3. Сумма 1-х n членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х n членов арифметической прогрессии

можно найти с помощью формул:

, где а1 — 1-й член прогрессии, а n— член с номером n,

Sn — число суммируемых членов.

где а1 — 1-й член прогрессии, d — разность прогрессии, n — число суммируемых членов.

Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский) .

Познакомиться с жизнью и деятельностью Леонардо Пизанского можно здесь

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

является расходящейся при

и сходящейся при d=0. При этом:

Арифметическую прогрессию как и любую другую последовательность, можно задать 3-мя способами:

- Описанием

- Рекуррентным способом

- И формулой n-ого члена.

Связь арифметической прогрессии с фигурными числами:

«Числа правят миром»

Пифагор

С незапамятных времен люди, оперируя с числами, выстраивали на земле замысловатые фигуры из камешков. Пифагорейцы считали, что фигурные числа скрывают тайны мироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши и Эйлера. Мы же ограничимся только одним классом фигурных чисел – многоугольными (рис. 1).

Рис. 1. Фигурные числа: а) треугольные, б) квадратные, в) пятиугольные, г) шестиугольные.

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур.

Классические многоугольные числа являются разновидностью фигурных чисел. Они включают треугольные числа, квадратные числа, а также фигуры с любым количеством углов. Многоугольное число представляет количество равноудалённых точек в правильном геометрическом распределении определенного типа. Эти типы
делятся на:

· Треугольные числа. Они имеют общую формулу: S_n= n(n+1) /2 - формула нахождения суммы n- первых членов арифметической прогрессии а₁=1, d=1 . Это такие числа, как: 1,3,6,10,15, 21, … Их можно найти в виде точек в определенном правильном треугольнике.

· Квадратные числа. Они имеют общую формулу: S_n=n^2 формула нахождения суммы n- первых членов арифметической прогрессии а₁=1, d=2. Это такие числа, как: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Они также представлены в виде точек в определенном квадрате.

· Пятиугольные числа. Они имеют общую формулу: S_n=n(3n-1) /2 формула нахождения суммы n- первых членов арифметической прогрессии а₁=1, d=3. Это числа, порядка: 1, 5, 12, 22, 35, 51, …Они имеются в определенном пятиугольнике.

· Шестиугольные числа. Они имеют общую формулу: S_n=n(2n-1)- формула нахождения суммы n- первых членов арифметической прогрессии а₁=1, d=4. Это числа, порядка: 1, 6, 15, 28, 45, 66, …Они имеются в определенном шестиугольнике.

· Двенадцатиугольные числа. Они имеют общую формулу S_n=5n²-4n формула нахождения суммы n- первых членов арифметической прогрессии а₁=1, d=11. Это числа

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, …

Вывод:

n-е по порядку m-угольное число

можно определить, как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна d=(m-2) и вычислить это число можно по формуле: