Геометрическая прогрессия: от древности до наших дней

Наука математика – является частью общечеловеческой культуры, наука эта древняя и возникла она из практических нужд человека. В ходе развития и совершенствования науки в математике стали появляться абстрактные понятия. Одно из таких понятий – «прогрессия». Прогрессия начала своё существование в древности. Доказательством этого утверждения являются найденные древнеегипетские папирусные и клинописные таблички вавилонян. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Определение: Геометрическая прогрессия {b_n} - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме 0 и 1.
·                     Если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
·                     если q<0, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
·                     при −1<q<1– прогрессия называется бесконечно убывающей.
Уравнение членов геометрической прогрессии : b_n=b₁⋅q^n-1
Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n=b₁*(qⁿ−1)/(q−1) или S_n=b₁*(1−qⁿ)/(1−q)
Если прогреcсия являетcя беcконечно убывающей, то: S_n=b₁/(q−1)

Период	Учёный, страна	Вклад в развитие понятия "Геометрическая прогрессия"
II тысячелетие до н.э.	Вавилонские клинописные тексты эпохи Хаммурапи.	В древнем Вавилоне решение некоторых вопросов хозяйственного и научного характера приводило к геометрической прогрессии. Найдена глиняная дощечка с клинописным текстом, расшифрованным одним англичанином - ассириологом. Этот текст рассказывает о том, какая часть лунного диска освещается солнцем в каждые из 15 дней от новолуния до полнолуния. Увеличение освещенной части диска в течение пяти дней подчиняется закону геометрической прогрессии с знаменателем 2, а в последующие 10 дней- закону арифметической прогрессии с разностью 16.
	Египетские папирусы	Папирус Ахмеса (Ринда) был обнаружен в 1858. В 1870 до н. э. папирус был расшифрован, переведён и издан. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель. Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии: 1+2+2²+…+2⁹. Решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой. S_n= 2ⁿ+ (2ⁿ- 1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст - это так называемый папирус писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Папирус имеет размер 5,25 м х 33 см и содержит 84 задачи. Папирус был приобретен в 1858 г. Г.Райндом и изучен впервые профессором А. Эйзенлором в 1877 г. Другой папирус (5,44 м х 8 см) включает 25 задач. Он был приобретен русским востоковедом В.С. Голенищевым в 1893 г. и в настоящее время принадлежит Московскому музею изобразительных искусств им. А.С. Пушкина. Московский папирус исследовали ученые - академики Б.А. Тураев и В.В. Струве.
в X век до н. э. — II век до н. э.	Древний Китай	В задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих.
	Древний Рим	Ещё диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией.
VI век до н.э.	Римский автор Боэций	Термин «Прогрессия» от латинского слова «движение вперед». В математике это понятие определялось так: это всякая последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.
V в. до н.э.	Древняя Греция	Греки знали следующие прогрессии и их суммы: 1+2+3+4+4+…+n = (n(n+1))/2 2+4+6+…+n = n(n+1) У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией: a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций.
3 век до н.э	Евклид	В книге «Начала» вывел формулу для вычисления суммы членов геометрической прогрессии.
ок. 287 – 212 гг. до н.э	Архимед - древнегреческий учёный, математик и механик.	В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь: 1, 2, 3, 4, 5, … 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, … и указывает на связь между ними. Например: 10³·10⁵=10³⁺⁵=10⁸, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10. Как Архимед вычислял площадь круга: Вначале Архимед вписывал в круг шестиугольник, затем на каждой стороне построил равнобедренный треугольник – получался двенадцатиугольник. Постепенно удваивая число сторон, Архимед получил 24-угольник, 48-угольник и, наконец, 96-угольник. Построенные многоугольники все более и более покрывали собой площадь круга, как бы постепенно “исчерпывая” ее. В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда…
Начало нашей эры	Индия	Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда: «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2², 2³, … 2⁶³. Её сумма равна: 2⁶⁴-1=18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.
1202 год	Итальянский математик монах Леонардо из Пизы	Еще в древности занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16… Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией. В труде Леонардо «Книга абака» в XII главе приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.
XI век	Россия	В древнейшем памятнике русского права – в «Русской правде» встречаются задачи на прогрессии: приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2.
1484 год	Книга Никола Шюке «Наука о числах»	Сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии.
1544 год	Немецкий математик Михаил Штифель	В своей книге «Общая арифметика» составил таблицу, в которой прослеживается связь арифметической и геометрической прогрессий между собой.
Первая половина XVII века	Французский математик Пьер Ферма	Несколькими математиками (в том числе и Пьером Ферма) была выведена общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Начало XVIII века	Леонтий Филлипович Магницкий	Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике– «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России.
В конце ХVII - начале ХVIII вв.	Германия	Для расчета темперированного музыкального строя была применена геометрическая прогрессия.
XVIII в	Англия	Появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: арифметическая геометрическая
1805 г	Франция	Размеры типографского шрифта были установлены в соответствии с геометрической прогрессией.

Вывод: Прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. В развитие теории о прогрессиях внесли свой вклад такие ученые, как Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонардо Фибоначчи. Прогрессия сопровождает людей с древних веков вплоть до нашего времени. Это в очередной раз доказывает, что с прогрессией люди сталкиваются каждый день, а математика – это живая наука.

Источники информации:

Главная страница

Поиск по этому блогу

Прогрессия - движение вперёд!

Геометрическая прогрессия: от древности до наших дней

Комментарии

Отправить комментарий