Геометрическая прогрессия в русских задачах

Задачи, дошедшие до нас с древних времён, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства, строительство, размежевание земельных наделов.  Причём, те, кто мог и умел применять арифметическую и геометрическую прогрессии, имел материальную выгоду.  С тех времён почти ничего не изменилось.

Геометрическая прогрессия в «Русских математических рукописях» XV-XVII веках:

«Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?» 

Решение:

40 + 40*40 + 40*40*40 + 40*40*40*40+40*40*40*40*40+ 40*40*40*40*40*40+40*40*40*40*40*40*40+40*40*40*40*40*40*40*40=6721641025640

Дано: в1=40,  q=40,  n=8	Решение: Sn =(40*(40^8-1))/(40-1) =6721641025640
Найти Sn-?	Ответ:6721641025640

Задачи из учебника Л.Ф.Магницкого:

 

В учебнике Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Прогрессии в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого включены в пятую часть книги «О прогрессиях и радиксах квадратных и кубических». 

Вот несколько задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

Задача 1: Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему цена лошади высока, то купи её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне ¼ коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение: 

Количество подков: 4

Количество гвоздей: 6*4=24    n = 24

Первый гвоздь: ¼ копейки   b₁ =  ¼

Второй гвоздь: ½ копейки     q = 2

   S_n =(0,25*( 2^24-1))/(2-1) =4194303,75 коп. =42000 руб.

 Задача 2: Переменка. Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

Ответ: Решений нет, значит, ученик до двери не дойдёт.

Задача 3: Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение

Если первоначальное число яблок х, то:

·        первый покупатель получил: x/2 + 1/2 = (x + 1)/2,

·        второй   1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/2²,

·        третий   1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/2³,  и т.д.

·        седьмой покупатель   (х + 1)/2⁷.

Имеем уравнение

(х + 1)/2 + (х + 1)/2² + (х + 1)/2³ + ... + (х + 1)/2⁷ = x

Вынесем за скобки общий множитель:

(x + 1) (1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2⁷) = x.

Вычислим стоящую в скобках сумму, как сумму членов геометрической прогрессии:

Задача 4: Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м?

Ответ: Через 33 дня дерево достало бы до Луны

Задача 5: По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:

"Хотяй туне притяжати,

 От кого что приимати, 

Да зрит то себе опасно". 

Задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.: Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки? Проторговался ли купец?

Решение: 

“Мужик” заплатил: S₃₀ = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

«Купец» заплатил:

Ответ: Убыток: 8000000 рублей.

Задача из древней Руси. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:

Старинное решение задач:

7 + 7*7 + 7*7*7 + 7*7*7*7+7*7*7*7*7 =19607.

Современное решение задачи:

Задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795):

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение:

 Ответ: 16 ран

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

Из старинных русских рукописей XV-XVIII вв.

Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?

Дано: в1=1,  q=2,  n=64	Решение: Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию. S64 =(1*(2^64-1))/(7-1) =2^64-1 Денег будет (2^64-1)/2000 рублей
Найти S64-?	Ответ: (2^64-1)/2000 рублей

Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике:

Я.И.Перельман автор большого количества занимательных книг, в которых тоже есть задачи на прогрессии. Вот одна из них:

 «В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?».

Эту задачу можно решить логически:

В 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить, применяя понятие геометрической прогрессии:

 

Дано: в1=1, q=3, Sn=8000	Решение: Sn =1(3^n-1)/(3-1) 1(3^n-1)/(3-1)=8000 (3^n-1)/2 =8000 3n=16001 Если n=9, то S9=9841>8000. Это значит, через 15 мин⸱9=135 мин, более половины жителей города будут знать новость. Это произойдет в 10.00 утра.
Найти n-?	Ответ: в 10 часов.

Задачи из современных учебников математики:

 Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; -М.:Просвещение, 2010: №571, 574, 586, 599, 600, 611, 614, 618-620, 627-631, 642, 646-651, 654-656, 663, 667-672, 674-676. Всего 35 задач. Вот одна из них:

Задача 1:

На автомобильном заводе проводили испытания экспериментального экземпляра машины новой марки. В первый день испытатель проехал на ней 20 км, а затем ежедневно увеличивал пробег в 1,5 раза. Сколько километров прошёл автомобиль за неделю?

Решение:

Ответ: 640 км

         Алгебра. 9 кл. Ч.2: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ А.Г.Мордкович , П.В.Семёнов  -М.:Мнемозина, 2010

Задача 2: 

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

 Ответ: 4722366482869645213695 бактерий

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия:

проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период; 

проявляется при распространение гриппа или короновируса: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили ещё;

 обхватила все сферы нашей с вами повседневной жизни: медицину, биологию, физику, химию, литературу, связь, экономику, музыку и т.д.

 Источники информации:

1. Исследовательские задачи по математике на тему “Арифметическая и геометрическая прогрессии в древности”
2. Старинные задачи на прогрессии
3. Презентация «Древнейшие задачи на прогрессии»  
4. Презентация "Прогрессия в практических задачах"
5. Математические прогрессии в музыке, литературе и истории
6. Старинные задачи для учащихся 9 класса
7. Живая математика (Перельман)/Глава 7
8. Исследовательская работа «Прогрессии сквозь призму времени»

                                                                                                   Главная страница