Треугольник Паскаля и арифметическая прогрессия

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

 Мартин Гарднер

    «Треугольник Паскаля» представляет собой набор строк, состоящий из чисел, сгруппированных по определенному закону таким образом, что получается фигура, напоминающая треугольник.

По боковым сторонам этого треугольника стоят единицы и всякое число, кроме этих единиц, получается, как сумма двух чисел, расположенных над данным числом.

Таблица 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……………..

    Блез Паскаль посвятил этому треугольнику "Трактат об арифметическом треугольнике", опубликованный в 1653 г. В нем этот треугольник записывался в виде таблицы:

Таблица 2

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

1 5

1

в которой каждое число равно сумме чисел, расположенных слева и сверху над ним. Будем называть его прямоугольным треугольником Паскаля. Таким образом, треугольник Паскаля отличается от прямоугольного треугольника, рассматривавшего самим Паскалем, поворотом на 45°.

      Несмотря на свою простоту, треугольник Паскаля обладает целым рядом интересных свойств.  

Свойства треугольника Паскаля 

Определение: Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2: 3, 5, 7, 9, 11, …

Тетраэдральные числа 1,4,10,20, 35, …. образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами 1,3,6,10, 15,…, а треугольные числа 1,3,6,10, 15, ..также образуют арифметическую прогрессию второго порядка. 

Определение: Арифметической прогрессией n-го порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует арифметическую прогрессию (n-1) – порядка.

 Посмотрите фильм "Математические секреты треугольника Паскаля"

 Какие же есть зависимости между коэффициентами в треугольнике Паскаля с арифметическими прогрессиями высших степеней?

I. Посмотрим на 8 строку треугольника Паскаля: 1,7,21,35,35,21,7,1

В ней:

·        второе, третье и четвёртое числа: 7,21,35 - образуют возрастающую арифметическую прогрессию с а1=7 и d=14;

·        пятое, шестое и седьмое числа: 35,21,7- образуют убывающую арифметическую прогрессию с а1=35 и d=-14.

 или:

Посмотрим на 15 строку треугольника Паскаля:

1,14,91,364,1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14,1

В ней:

·        пятое, шестое и седьмое числа: 1001, 2002, 3003 - образуют возрастающую арифметическую прогрессию с а1=1001 и d=1001;

·        девятое, десятое, одиннадцатое числа: 3003, 2002, 1001- образуют убывающую арифметическую прогрессию с а1=1001 и d=-1001.

Вывод:

1.  В этих строках сразу две прогрессии, которые составлены из одной и той же тройки чисел, потому что треугольник Паскаля симметричен.

2. Таких строк в треугольнике Паскаля бесконечно много (доказательство этого факта можно посмотреть здесь).

3. Нет ни одной стоки, в которой была бы арифметическая прогрессия, состоящая из более чем трёх членов, идущих подряд.

II. а) Вдоль второй диагонали треугольника (параллельной сторонам треугольника Паскаля) выстроены треугольные числа - т.е. числа, которые образуют арифметическую прогрессию 2-ого порядка.

б) Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа – т.е. числа, образующие арифметическую прогрессию 3-его порядка.

 

в) На 8-ой диагонали расположены числа (1,9,45,165,495,1287,3003,6435, 12870, 24310,…), образующие арифметическую прогрессию 8-ого порядка.

г) На 12 диагонали – числа (1,13,93,455, 820, 6188, 18564, 50388, 125970, 293930, …) , образующие арифметическую прогрессию 12-ого порядка.

Вывод:

На диагоналях треугольника Паскаля расположены числа, которые образуют арифметические прогрессии высших порядков.

Источники информации:

Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля. 

Треугольник Паскаля

Главная страница